Economie des iles et production de noix de coco

Aujourd'hui nous allons voir un article de Peter Diamond - « Aggregate Demand Management in Search Equilibrium ». Cet article explore un autre facteur du chômage à part la rigidité des prix : la difficulté de coordonner les échanges. Il ne s'agit pas d'économie internationale mais bon le papier est quand même assez intéressant.

Imaginons que nous nous trouvons donc sur une ile tropicale où il y a trois sortes d'agents : les producteurs, les chômeurs et les « échangistes ». Nos amis Robinsons sont d'abord producteurs (tous) : ils se promènent sur la plage et rencontre des palmiers. La rencontre avec un nouveau palmier suit un processus de Poisson : cela veut dire que temps d'arrivé du prochain palmier est tiré dans une loi de poisson (de paramètre a) tout simplement. Arrivé à un palmier, notre Robinson peut grimper à l'arbre et prendre une quantité y de noix de cocos. Cette exercice a un coût c; mais attention c est variable et dépend du palmier ( de la hauteur à laquelle il faut grimper). Le coût c est donc une variable aléatoire de fonction de répartition G. Il y a un tabou sur l'ile : nos Robinsons ne peuvent pas consommer les noix de cocos qu'ils ont eux même été cherché. Donc, une fois la quantité y de noix de cocos cueillies, ils deviennent instantanément « échangistes » et cherchent quelqu'un avec qui échanger leurs noix de cocos. Ils doivent d'abord échanger toutes leurs noix de cocos et ne pourront redevenir producteur une fois toute cette quantité échangée. Ils ont une fonction d'utilité de la forme : U = y – c.

Mais attention, ici nous sommes dans un modèle où le temps est pris en compte. En effet, comme nous l'avons vus, ils mettent un certain temps avant de rencontrer un palmier et même chose, ils mettent un certain temps avant de rencontrer des gens pour échanger leurs noix de cocos ( selon un autre processus de poisson selon un paramètre b).
Donc en fait les agents maximiser une utilité inter-temporelle avec un taux de préférence pour le présent r.

Une personne cherchant un palmier est considérée au chômage. On note e la fraction de personnes ayant une quantité y de noix de coco et cherchant à les échanger. Une dernière précision : une personne échange ses y noix de cocos d'un seul coup avec le premier venu selon un ratio d'échange de 1 pour 1 ( une noix de coco échangée contre une autre).

Admettons que tous nos Robinson acceptent de grimper au palmier si le coût n'excède pas c*.

On peut donc écrire la dérivée de e :

de/dt = a(1-e)G(c*) - e b(e)

En effet, le taux de personne effectuant un échange augmente quand quelqu'un rencontre un palmier (au taux a) ayant un coût inférieur à c* et ce taux baisse quand quelqu'un rencontre une personne pour échanger au taux b ( note : le taux b dépend évidemment de e, plus il y a de personnes voulant échanger, plus il est facile d'en rencontrer un).

Ici, nous allons étudier seulement le cas stationnaire, c'est à dire quand les dérivées par rapport au temps sont nulles.

Maintenant il faut déterminer c*. Qu'est ce qui fait qu'un agent décidera de supporter le coût de monter sur le palmier et de prendre des noix de cocos ? Des gains anticipés dans le secteur d'échange. J'insiste sur le « anticipé », si un Robinson anticipe qu'il y aura beaucoup d'agents dans le secteur d'échange, trouver un autre Robinson sera plus facile et donc les gains sera plus élevé et donc il supportera des coûts plus grands. Inversement, s'il anticipe qu'il y aura peu d'agents, il supportera des coûts plus faibles.

Et donc intuitivement, on peut arriver au résultat de ce papier, il y aura deux équilibres dans cette économie, dû à des anticipations auto réalisatrices. Si les Robinson estimeront qu'il y aura peu de gens dans le secteur des échanges, ils produiront peu et donc il y aura effectivement moins de gens dans le secteur des échanges. L'autre équilibre est bien entendu du quand les gens estiment qu'il y aura beaucoup de gens dans le secteur des échanges.

Voilà pour le résultat intuitif de ce papier, mais tachons de le démontrer rigoureusement grâce à la formalisation mathématique.

Donc étudions deux grandeurs : l'utilité espérée inter temporelle d'un chômeur et l'utilité inter temporelle d'un échangiste que nous allons noter respectivement : Wu et We (j'insiste sur le espérée, car il s'agit d'anticipations).

Nous pouvons donc dire que c* = We – Wu. En effet, le coût maximum supporté sera égal au gain retiré des échanges moins le gain du au fait d'être un chômeur. (je trouve ça logique, j'espère que vous comprenez).

Maintenant essayons de trouver des expressions pour We et Wu.

rWe = b(e) ( y – We + Wu ) = b(e) ( y – c*)

Avec la probabilité b(e), un Robinson a l'opportunité de réaliser un échange lui donnant une utilité y et de changer de statut ce qui donne un changement d'utilité égal à Wu - We

rWu = a int( We-Wu -c , 0 .. c*) dG(c)

Chaque chômeur a la probabilité a de rencontrer un palmier et s'il décide de grimper, il change de statut et donc change d'utilité de We-Wu et supporte le cout de production c.

Après divers calculs, on obtient

c* = (b(e)y + K(c*)) / (r+b(e)+aG(c*))

où K(c*) est l'intégrale allant de 0 à c* de cdG.

Grâce à cette expression, on peut vérifier que dc*/de > 0 et la dérivée seconde est négative.

Appelons S(c*,e) la fonction décrivant l'ensemble des couples c* et e grâce à la relation trouvée ci dessus. La courbe de cette fonction est donc concave.

Ce qui revient à ce que nous disions plus haut, plus il y a de membre dans le secteur des échanges et plus les gens sont prêts à supporter des coûts de production élevés.

Maintenant revenons à l'expression de/dt

T(c*,e) = a(1-e)G(c*) - e b(e)

Comme précédemment (en dérivant), on peut montrer que la courbe de la fonction T est convexe.

Définition de l'équilibre :

Il s'agit d'un couple (c*,e*) tel que

S(c*,e*) = 0 (1)
T(c*,e*) = 0 (2)

En effet, un équilibre doit vérifier (2) et (1) car nous nous plaçons à l'état stationnaire.

Nous avons donc une courbe concave et une courbe convexe et les équilibres sont les intersections de ces deux courbes; on peut aisément vérifier que une courbe concave et une convexe ont deux points d'intersection. Comme nous l'avons déjà dit, un équilibre est associé à un haut niveau de participation et l'autre à un bas niveau de participation.

Il y a un autre papier de Diamond qui décrit l'économie mais en état non stationnaire et qui est bien plus difficile. Je ne l'ai pas encore lu mais je compte le faire.