Finance et fractales - Part 2

Wow ca fait un bail que j'ai pas posté de billets sur ce blog

Désolé d'avoir un peu délaissé tout ça

Nous allons continuer avec l'utilisation des fractales en finance

Les mouvements des prix boursiers sont souvent considérés comme irrationnels, complètement aléatoires et chaotiques ( de simples changements peuvent avoir de grandes conséquences).
Le premier à avoir fourni des outils pour modéliser de telles variations est Louis Bachelier qui en 1900 a découvert ce que l'on a appelé par la suite le mouvement brownien. En quoi cela consiste-t-il ? Notons Z(t) un prix à un instant $t$. Le mouvement brownien stipule que Z(t+T) - Z(t) suit une loi normale de moyenne nulle et de variance proportionnelle à T; les lois normales indépendantes entre elles : c'est à dire que Z(t1+T) - Z(t1) suit une loi indépendante de Z(t2+T) - Z(t2). Le mouvement brownien ne sert pas uniquement pour modéliser les prix boursiers : on s'en sert aussi pour les mouvements des pétales de fleurs sur une solution aqueuse par exemple. Comme nous le verrons par la suite, le mouvement brownien semble inapproprié pour modéliser les mouvements des prix boursiers. Pour plus de précision, des outils mathématiques appelés fractales ont été développés.


Définition des fractales


La géométrie fractale a été créée par un mathématicien du nom de Benoit Mandelbrot.
Dans son livre, Mandelbrot définit les fractales de la façon suivante :

Les fractales sont des objets qu'on appelle irréguliers, rugueux, poreux ou fragmentés, et qui, de plus, possèdent ces propriétés au même degré à toutes les échelles. C'est dire que ces objets ont la même forme, qu'ils soient vus de près ou de loin.

Nous pouvons illustrer cette propriété par plusieurs exemples concrets : on retrouve la même structure sur un flocon de neige quelque soit l'échelle de précision avec laquelle on le regarde. Cela est également vraie pour la cote bretonne.

Concept d'auto-similarité

C'est la formalisation mathématique de la propriété que nous venons d'évoquer. Cela veut dire que chaque partie d'un objet peut être obtenue en transformant l'objet en entier par une similitude ( une similitude est une famille de transformations mathématiques qui comprend les réductions et les compressions linéaires).

On peut aussi étendre cette notion sur les distributions de probabilités.



signifie que X et Y sont deux variables aléatoires qui ont la meme distribution.
On dit que les incréments d'une distribution X sont auto similaires lorsque il existe un H tel que :




Article fondateur de Mandelbrot


Mandelbrot a écrit son premier article sur le sujet en 1963 intitulé The variation of certain speculative prices. Mandelbrot va constater tout d'abord que le mouvement brownien ne convient pas pour plusieurs raisons. Premièrement, le coefficient kurtosis et le skewness données par la distribution des prix boursiers ne correspondent pas à ceux de la loi normale ( autrement dit les « cloches » sont plus pointues et moins plates que celle de la loi normale).
Les queues de la distributions sont beaucoup plus épaisses : les valeurs extrêmes sont prises beaucoup plus souvent. Le moment d'ordre 2 varie de façon erratique et ne converge pas quand la taille de l'échantillon devient très grande (alors que le moment d'ordre 2 d'une loi normale converge).Les courbes postulées par le mouvement brownien sont continues alors qu'il y a des discontinuités dans la réalité : en effet, il y a parfois de très brusques variations des prix boursiers (par exemple lors des krachs). Tous ces éléments vont faire que Mandelbrot va abandonner l'hypothèse de normalité et chercher d'autres types de distributions capables de mieux représenter les indices boursiers.

Les distributions L Stables


Les distributions L-Stables permettent d'avoir des distributions fractales. Nous les avions vus dans le premier billet. En effet, supposons que pour modéliser
Z(t+ to) - Z(t) les variations d'un prix boursier d'une semaine, on prenne une distribution L-Stable. Si on additionne quatre fois les variations successives d'une semaine, on obtient une variation sur un mois. Or par la propriété d'invariance par addition, la variation sur un mois est une distribution de la même forme que celle sur une semaine. Comme nous le verrons par la suite, les prix boursiers vérifient bel et bien cette propriété. La raison de cette invariance par l'échelle est inconnue pour le moment, c'est un fait observé.


Comportement asymptotique

Nous avons déjà dit que les queues des distributions des prix boursiers étaient plus épaisses que celles des lois normales. Nous allons donc nous intéresser au comportement asymptotique d'une distribution L-stable U. Levy a montré que toute loi L Stable non gaussienne va asymptotiquement suivre une loi de Pareto . C'est à dire que lorsque u tend vers l'infini, il existe deux constantes C1 et C2 telles que :







Pour modéliser le fait que changements de prix prennent souvent des valeurs extrêmes, supposons que les moments sont infinis au delà du premier. Cela revient pratiquement a prendre des lois de Pareto.
Si le moment d'ordre 1 converge : p(u)u tend vers 0. Et si le moment d'ordre 2 diverge : p(u) décroit moins vite que u²
Les expressions les plus simples pour arriver à cela sont les lois de Pareto


Dans le prochain billet, nous verrons les mouvements browniens fractionnaires et la mémoire longue.

Being Jack Bauer

J'étais en train de regarder des épisodes de la série 24 et cela m'a donné envie d'écrire des billets sur le sujet. Il faut savoir que cette série est un petit bijou de propagande de la dernière administration américaine : sentiment patriotique exacerbé, justification du droit d'ingérence dans d'autres pays et d'une intervention armée, valorisation des soldats qui risquent leur vie .... Mais surtout, le point qui va nous intéresser, il y a une justification récurrente de méthodes douteuses et en particulier de la torture pour arriver à combattre le terrorisme.

Un bout de conversation au hasard donne le ton :
-«on enfreint une cinquantaine de règlements fédéraux rien que par notre présence ici »
-« des milliers de vies sont en jeu vous en avez conscience ? Où on contourne quelques règles où on perd cette chance »

Ce qui est d'intéressant dans les épisodes, c'est que les personnages reconnaissent que oui ce sont des méthodes douteuses mais que voilà, il y a des enjeux, le temps presse et que donc pas le choix. Mais le meilleur, c'est qu'à chaque fois, ça marche. La torture permet d'avoir des informations, le fait de contourner les règles permet de coincer les méchants etc.

Maintenant posons le problème : vous êtes un agent de la CTU (Counter Terrorist Unit) et vous devez faire parler un type dans un laps de temps limité.

Abordons le problème de manière froide, cynique, calculatrice, dénuée de sentiments. Bref, abordons le problème comme le ferait un économiste digne de ce nom.

Déjà, nous nous basons sur des hypothèses fortes :

nous supposons que le type en question possède des renseignements; or il s'avère dans de nombreux cas que les américains ont coincé des types et les ont torturé alors qu'ils n'avaient pas grand chose à voir avec des activités illégales.

Il s'agit donc pour le gouvernement d'un problème d'optimisation, comme toujours en microéconomie : le gouvernement va essayer de minimiser les coûts de la torture et de maximiser les renseignements obtenus.

Commençons avec la minimisation des coûts obtenus :

On torture le type jusqu'à ce qu'il craque. Bien entendu, comme nous sommes des économistes, nous sommes pingres. Et donc nous râlons déjà, parce que torturer n'est hélàs pas gratuit. Pour peu que la personne soit réticente à avouer, il va falloir divers instrument, du temps, voir même payer du personnel qualifié pour le faire.
On peut même aller encore plus loin : imaginez un peu que tout le monde apprenne vos pratiques. Alors là c'est pas joyeux joyeux non plus : il va éventuellement falloir répondre de vos actes devant la justice, payer des avocats etc. En plus, cela va probablement détériorer vos relations avec d'autres pays ( les personnes détenues sont souvent de nationalité étrangère...^^).

Puis passons à la maximisation des renseignements obtenus :

Supposons que le prisonnier obéit à une fonction d'utilité U

Mais dans ce problème, il y a aussi un problème important, celui de l'asymétrie de l'information. Comme déjà dit, on n'est pas sur que ladite personne soit effectivement membre d'une organisation et même si c'est le cas rien ne dit que les informations qu'elle révèlera seront exactes.

Comment l'économiste résout ce problème ? Dans les autres cas d'asymétrie d'information, il est fait en sorte que l'utilité de la personne est plus élevée si elle se comporte de la manière souhaitée.
Autrement dit, il faut que l'individu trouve un avantage à révéler des informations fiables.

Comment faire en sorte qu'un terroriste trouve avantage à “balancer” ? Pas simple me direz-vous.

Formellement cela se traduit par
U( donner les informations utiles) > U ( se taire ou faire de la désinformation )

Mais remarquez qu'on a franchement du mal à imaginer en quoi la torture permettrait d'arriver à cette inégalité.

Je n'ai évidemment pas de réponse toute faite mais cela dit poser le problème de cette façon est déjà un premier pas.

Je vous recommande deux films :

Le film “Détention secrète” avec Jake Gyllenhaal, où un ingénieur chimiste se fait arreter, torturer, et finit par avouer des choses .... alors qu'il n'avait rien à se reprocher.
Mais surtout le film “the Road to Guantanamo” de Michael Winterbottom. C'est un docu-fiction : une reconstitution de l'histoire vraie de 3 personnes qui se sont rendues en Afghanistan et se sont retrouvées au milieu des combats; Elles ont fini par se faire arrêter et ont été emmenées à Guantanamo. Eux aussi des citoyens ordinaires. On y voit une belle reconstitution des conditions de détention. On y apprend aussi que la plupart des détenus n'ont pas été jugé, et ont peu de charges qui sont retenues contre eux. Finalement, les 3 personnes seront libérées après 2 ans et demi de détention. Elles n'avaient aucun lien avec une activité illégale, quelle quelle soit.

Donc pour finir, une conclusion évidente mais visiblement utile à rappeler, quand on ne respecte pas les droits des individus, on retombe dans le domaine de l'arbitraire et où on voit tout un chacun se faire accuser de tout et n'importe quoi.

Aghion et l'innovation

Aujourd'hui, nous allons commencer par voir un article de Philippe Aghion : "Growth with Quality Improving Innovations"



Le modèle de base

L'économie possède 3 types de biens : le travail, un bien de consommation et des biens intermédiaires. Le temps est discret.

La fonction de production est de la forme :

xit représente les biens intermédiaires (au nombre de m), L représente le nombre d'individus travaillant et enfin Ait représente la qualité des biens intermédiaires.

Ait peut évoluer grâce aux innovations. Si une innovation a lieu, Ait = γ Ai,t-1

Les innovations apparaissent sous la loi suivante :

μit représente la probabilité qu'une nouvelle innovation arrive, nit représente le nombre de chercheurs employés divisé par Ai,t-1 (en effet, plus le niveau d'innovation est élevé plus il devient diffile d'innover) . Λ est simplement un paramètre.

Nous pouvons maintenant calculer le taux de croissance de Ait noté g

En effet g = Λ f(n)γ + (1-Λ f(n)) - 1, c'est à dire la somme de (la probabilité d'avoir une innovation * γ) et de (la probabilité de ne pas en avoir * 1)

Nous avons une équation de « recherche » où le gain marginal de la recherche doit être égal à son cout marginal. Le raisonnement est simple : une entreprise aura toujours tendance à embaucher un chercheur supplémentaire si le gain espéré est plus élevé que le cout de cette embauche.

La gain marginal c'est le profit attendu multiplié par la probabilité d'avoir une innovation;

nous prenons la probabilité marginale; cela donne l'équation :

Cette équation nous permet de déterminer n le nombre de chercheurs.

On admet que le fait d'innover procure a la firme innovante un avantage en terme de cout : les concurrents peuvent copier le bien a la meme qualité mais cela leur coutera χ fois plus.

Un modèle de transfert de technologie

Plaçons nous dans un contexte international et supposons l'existence de h pays. Ici on considère la frontière globale At : le niveau d'innovation pour tous les pays.

On définit μ comme la probabilité d'avoir une innovation quelque soit le pays concerné : c'est tout simplement la somme des probabilités d'avoir une innovation dans un pays.

Donc Ait = γ Ai,t-1 avec la probabilité μ et reste à Ai,t-1 avec la probabilité 1- μ

Plaçons nous dans un pays quelconque. On définit la distance à la frontière de ce pays de la manière suivante :

dt = ln (Ait/ At)

dt reste égale à dt-1 s'il n'y a pas d'innovation nulle part, dt devient nul s'il y a une innovation dans le pays considéré et dt = dt-1 + ln γ s'il y a une innovation dans un autre pays.

Intéressons nous à la distance espérée que l'on peut écrire (il s'agit simplement de l'esperance mathématique) :

Si μ >0, cette équation à un seul point unique. Cela veut dire que si un pays emploie un nombre n de chercheurs constant, sa distance à la frontière va finir par se stabiliser. Si μ = 0, par contre, l'espérance de dt diverge vers l'infini car l'innovation est une condition nécessaire pour qu'il y ait transfert de technologie.

En effet, si un pays n'innove pas, sa distance à la frontière ne fait que s'accroitre. Lors d'une innovation, la distance à la frontière devient 0, le pays assimilant donc les innovations des autres pays ayant été effectuées précédemment.

Cela est vrai si f'(0) tend vers l'infini, f étant la fonction mentionnée au début permettant de calculer μ.

Impact de χ suivant la distance à la frontière

Rappel : On admet que le fait d'innover procure a la firme innovante un avantage en terme de couts : les concurrents peuvent copier le bien a la même qualité mais cela leur coutera χ fois plus.

On reprend le même cadre international avec une frontière commune à tous les secteurs notée Ait

Ici, admettons que la frontière globale augmente à toutes les périodes suivant :

Ait = γ Ai,t-1

Distinguons 3 types de secteurs : le secteur j ayant Aj,t-1 = At-1-j

Autrement dit, plus j est élevé, et plus la distance à la frontière est grande.

Les firmes appartenant aux secteurs 0 ou 1 peuvent investir dans la recherche en fournissant des efforts de la forme : Ils ont une probabilité d'innover égale à μ si ils investissent 0.5 γ Ai,t-1 μ²

L'innovation est supposée automatique dans le secteur 2. La distance à la frontière est ici limitée.

Intéressons nous aux firmes de type 1 : Il est logique de penser que pour les firmes de type 1, un χ plus petit, et donc une compétition plus grande, réduira les incitations à l'innovation pour les firmes de type 1.

Pour les firmes de type 0, les choses se compliquent :

Elles ont au départ Ai,t-1 = At-1

Si elles innovent, Ai,t = At et sinon Ai,t = At-1

Si la firme innove, aucune autre firme ne peut produire le bien a la qualité At. En effet, pour les firmes de type 1, si elles innovent, elles se retrouvent à produire de la même qualité que des firmes de type 0 qui n'ont pas innové mais elles ont un avantage en terme de couts sur elles .

Mais une firme de type 0 qui innove, n'aura personne qui pourra produire de la même qualité qu'elles. Elle est donc en situation de monopole sans contrainte et son profit ne dépendra plus de χ .

Par contre une firme de type 0 qui n'innove pas, son profit évoluera dans le même sens que χ. Donc une augmentation que χ augmentera le profit d'une firme qui n'innove pas et donc réduira les incitations à l'innovation.

Donc globalement une augmentation de χ aura des effets négatifs sur l'incitation à l'innovation d'une firme de type 0.

Voilà un papier qui permet de bien réfléchir sur l'innovation et sur l'impact du monopole qui peut en résulter.

A suivre : un billet sur la comparaison Europe-USA qui a été mise d'actualité par Krugman

Le multiplicateur dans la peau

Tout allusion a un titre de film est purement forfuite.


Aujourd'hui nous allons voir un papier récent de l'illustre Paul Krugman qui s'appelle « The financial multiplier » parut en octobre 2008.

Prenons un actif risqué dont le prix est q et qui est disponible en quantité A

Distinguons deux types d'investisseurs différents :

l'investisseur lambda et ceux que l'on appelle les “Highly Leveraged Institutions (HLIs)

La demande pour l'actif en ce qui concerne les investisseurs lambdas est classique : elle est décroissante du prix

G = G(q) où G' < 0

En ce qui concerne les HLIs les choses sont très différentes. Supposons que les HLI possède N actifs risqués. On prend le capital net E = qN – D où D représente la dette

Supposons que la valeur maximale qu'ils peuvent demander de l'actif est un ratio lambda du capital net




Donc la quantité demandée est obtenue en multipliant lambda par E et en divisant par q






Et ici on s'aperçoit donc que la quantité d'actif demandée varie dans le meme sens que le prix des actifs. Et c'est ainsi qu'apparait le multiplicateur : une baisse de la demande entraine une baisse du prix des actifs qui va elle meme entrainer une baisse de la demande... Et ainsi de suite ....


Maintenant on peut passer à deux pays. Le capital net devient : qN + q'N' - D ( où q' désigne le prix de l'actif dans le pays étranger et N' le nombre d'actifs détenus dans le pays étranger) Supposons que les investisseurs désirent une partie ��alpha de leur actif risqué à domicile et 1-��alpha à l'étranger On peut réecrire lambda de deux façons







et on obtient les fonctions de demande










Évidemment les fonctions de demande sont complémentaires. Supposons une hausse de q : on s'aperçoit que cela augmente la demande d'actifs étrangers. Cela crée donc un canal de transmission des prix des actifs. On obtient un diagramme de ce genre, où HH désigne la demande des actifs domestiques et FF la demande des actifs étrangers


















Quelles sont les répercussions sur la politique pour Krugman ? Et en particulier sur la gestion de la crise des subprime ? Tout d'abord imaginons un choc négatif dans un pays, qui fera baisser le prix des actifs. Cette baisse se transmettra via le canal vu au dessus dans les autres pays. Graphiquement cela revient à avoir un décalage de HH vers la gauche

















Pour Krugman, c'est ce canal qui a principalement joué lors de cette crise.

Cela implique que pour lui le problème de la crise n'est pas un problème de liquidité mais un problème de capital.


PS : évidemment bonne année à tous !

Site Tv

Un bon site où il y a un certains nombre de vidéos sur pas mal de site dont l'économie

fora.tv



Intéressant, filé par un camarade de classe

Debat du moment

Je me permets d'intervenir sur le sujet parce qu'il y a quand même des choses qui m'ont énervées : en lien ci dessus donc, un discours d'un homme politique sur le fameu débat de l'identité nationale.

Sur le début du discours, rien à redire mais après ça se gâte.

Pour ces raisons, tout nouvel immigrant sur le territoire national doit adhérer à ces principes et les respecter, c’est l’assurance d’une intégration possible.

De deux choses l'une : soit l'auteur s'exprime mal soit il fait une grave erreur : on ne peut pas amalgamer immigration et intégration. Les immigrés ne veulent pas forcément devenir français; d'ailleurs seule une minorité d'entre eux le deviendront. Ensuite, personnellement, je suis né français (droit du sol et droit du sang) et personne ne m'a jamais demandé ce que je pensais des valeurs françaises et si je les respectais. D'ailleurs j'ai vu quantité de français ne pas respecter la liberté, l'égalité et la fraternité et personne ne remettait en cause leur nationalité. Exemple concret : un certain David Douillet a tenu des propos sexistes et misogynes (c'était dans lemonde...) et donc en désaccord avec l'égalité homme-femme ( reproche souvent fait aux musulmans). La chose que l'on peut faire, c'est d' essayer de valoriser certaines choses ou certaines valeurs, pas de dire que les gens doivent à tout prix les respecter (la différence est importante).

Personne ne peut nier qu’une intégration réussie passe d’abord par le respect d’une immigration légale. Soutenir aveuglément les sans-papiers, c’est encourager les passeurs mafieux et détruire nos valeurs !

Celle là quand même... Même pas envie de commenter...

Une bonne intégration suppose également une éducation familiale basée sur nos valeurs républicaines : l’école peut éduquer, mais elle doit surtout instruire et aider les jeunes à se construire et à acquérir un sens critique.

Que propose t il au juste ? d'aller mettre des micros et des caméras dans chaque foyer pour vérifier si les enfants ont bien une éducation compatible avec les valeurs républicaines ?
Ou alors c'est sous entendu : je suis contre le regroupement familial ?

Mais une intégration réussie passe surtout par le respect des usages et des règles de vie du pays qui vous accueille et des symboles qui le représentent :

Enfin c'est une vision que je n'apprécie guère. Après tout, les immigrés et leurs coutumes peuvent nous enrichir et nous apprendre des choses, nous inspirer. Pourquoi doivent-ils forcément s'adapter ? Pourquoi ne pourrions pas envisager les différences culturelles comme une richesse et y voir une source d'échange ? Et cela n'est pas incompatible avec une tradition assimilationniste. Aux usa, ils respectent beaucoup les cultures des gens et en même temps, il y a une certaine valorisation de la nation qui est très présente.

On ne doit pas devenir Français par hasard, mais le devenir par choix !

C'est bien j'ai pas choisi... de même qu'une majorité de francais...

Un pays fier de son passé, qui se réforme pour son avenir.

Ahhhh ça fleurt bon les aspects positifs de la colonisation et autre tout ça ....

Economie des iles et production de noix de coco

Aujourd'hui nous allons voir un article de Peter Diamond - « Aggregate Demand Management in Search Equilibrium ». Cet article explore un autre facteur du chômage à part la rigidité des prix : la difficulté de coordonner les échanges. Il ne s'agit pas d'économie internationale mais bon le papier est quand même assez intéressant.

Imaginons que nous nous trouvons donc sur une ile tropicale où il y a trois sortes d'agents : les producteurs, les chômeurs et les « échangistes ». Nos amis Robinsons sont d'abord producteurs (tous) : ils se promènent sur la plage et rencontre des palmiers. La rencontre avec un nouveau palmier suit un processus de Poisson : cela veut dire que temps d'arrivé du prochain palmier est tiré dans une loi de poisson (de paramètre a) tout simplement. Arrivé à un palmier, notre Robinson peut grimper à l'arbre et prendre une quantité y de noix de cocos. Cette exercice a un coût c; mais attention c est variable et dépend du palmier ( de la hauteur à laquelle il faut grimper). Le coût c est donc une variable aléatoire de fonction de répartition G. Il y a un tabou sur l'ile : nos Robinsons ne peuvent pas consommer les noix de cocos qu'ils ont eux même été cherché. Donc, une fois la quantité y de noix de cocos cueillies, ils deviennent instantanément « échangistes » et cherchent quelqu'un avec qui échanger leurs noix de cocos. Ils doivent d'abord échanger toutes leurs noix de cocos et ne pourront redevenir producteur une fois toute cette quantité échangée. Ils ont une fonction d'utilité de la forme : U = y – c.

Mais attention, ici nous sommes dans un modèle où le temps est pris en compte. En effet, comme nous l'avons vus, ils mettent un certain temps avant de rencontrer un palmier et même chose, ils mettent un certain temps avant de rencontrer des gens pour échanger leurs noix de cocos ( selon un autre processus de poisson selon un paramètre b).
Donc en fait les agents maximiser une utilité inter-temporelle avec un taux de préférence pour le présent r.

Une personne cherchant un palmier est considérée au chômage. On note e la fraction de personnes ayant une quantité y de noix de coco et cherchant à les échanger. Une dernière précision : une personne échange ses y noix de cocos d'un seul coup avec le premier venu selon un ratio d'échange de 1 pour 1 ( une noix de coco échangée contre une autre).

Admettons que tous nos Robinson acceptent de grimper au palmier si le coût n'excède pas c*.

On peut donc écrire la dérivée de e :

de/dt = a(1-e)G(c*) - e b(e)

En effet, le taux de personne effectuant un échange augmente quand quelqu'un rencontre un palmier (au taux a) ayant un coût inférieur à c* et ce taux baisse quand quelqu'un rencontre une personne pour échanger au taux b ( note : le taux b dépend évidemment de e, plus il y a de personnes voulant échanger, plus il est facile d'en rencontrer un).

Ici, nous allons étudier seulement le cas stationnaire, c'est à dire quand les dérivées par rapport au temps sont nulles.

Maintenant il faut déterminer c*. Qu'est ce qui fait qu'un agent décidera de supporter le coût de monter sur le palmier et de prendre des noix de cocos ? Des gains anticipés dans le secteur d'échange. J'insiste sur le « anticipé », si un Robinson anticipe qu'il y aura beaucoup d'agents dans le secteur d'échange, trouver un autre Robinson sera plus facile et donc les gains sera plus élevé et donc il supportera des coûts plus grands. Inversement, s'il anticipe qu'il y aura peu d'agents, il supportera des coûts plus faibles.

Et donc intuitivement, on peut arriver au résultat de ce papier, il y aura deux équilibres dans cette économie, dû à des anticipations auto réalisatrices. Si les Robinson estimeront qu'il y aura peu de gens dans le secteur des échanges, ils produiront peu et donc il y aura effectivement moins de gens dans le secteur des échanges. L'autre équilibre est bien entendu du quand les gens estiment qu'il y aura beaucoup de gens dans le secteur des échanges.

Voilà pour le résultat intuitif de ce papier, mais tachons de le démontrer rigoureusement grâce à la formalisation mathématique.

Donc étudions deux grandeurs : l'utilité espérée inter temporelle d'un chômeur et l'utilité inter temporelle d'un échangiste que nous allons noter respectivement : Wu et We (j'insiste sur le espérée, car il s'agit d'anticipations).

Nous pouvons donc dire que c* = We – Wu. En effet, le coût maximum supporté sera égal au gain retiré des échanges moins le gain du au fait d'être un chômeur. (je trouve ça logique, j'espère que vous comprenez).

Maintenant essayons de trouver des expressions pour We et Wu.

rWe = b(e) ( y – We + Wu ) = b(e) ( y – c*)

Avec la probabilité b(e), un Robinson a l'opportunité de réaliser un échange lui donnant une utilité y et de changer de statut ce qui donne un changement d'utilité égal à Wu - We

rWu = a int( We-Wu -c , 0 .. c*) dG(c)

Chaque chômeur a la probabilité a de rencontrer un palmier et s'il décide de grimper, il change de statut et donc change d'utilité de We-Wu et supporte le cout de production c.

Après divers calculs, on obtient

c* = (b(e)y + K(c*)) / (r+b(e)+aG(c*))

où K(c*) est l'intégrale allant de 0 à c* de cdG.

Grâce à cette expression, on peut vérifier que dc*/de > 0 et la dérivée seconde est négative.

Appelons S(c*,e) la fonction décrivant l'ensemble des couples c* et e grâce à la relation trouvée ci dessus. La courbe de cette fonction est donc concave.

Ce qui revient à ce que nous disions plus haut, plus il y a de membre dans le secteur des échanges et plus les gens sont prêts à supporter des coûts de production élevés.

Maintenant revenons à l'expression de/dt

T(c*,e) = a(1-e)G(c*) - e b(e)

Comme précédemment (en dérivant), on peut montrer que la courbe de la fonction T est convexe.

Définition de l'équilibre :

Il s'agit d'un couple (c*,e*) tel que

S(c*,e*) = 0 (1)
T(c*,e*) = 0 (2)

En effet, un équilibre doit vérifier (2) et (1) car nous nous plaçons à l'état stationnaire.

Nous avons donc une courbe concave et une courbe convexe et les équilibres sont les intersections de ces deux courbes; on peut aisément vérifier que une courbe concave et une convexe ont deux points d'intersection. Comme nous l'avons déjà dit, un équilibre est associé à un haut niveau de participation et l'autre à un bas niveau de participation.

Il y a un autre papier de Diamond qui décrit l'économie mais en état non stationnaire et qui est bien plus difficile. Je ne l'ai pas encore lu mais je compte le faire.