Epidémiologie et finance

Il m'est venu une idée aujourd'hui même. Avec la faillite de Lehman Brothers, nous avons vécu un risque de crise systémique.

Par le passé, j'ai travaillé sur des modèles mathématiques d'épidémiologie et il m'est venu l'idée d' essayer d'adapter ces modèles à la finance. Les modèles d'épidémiologie nous permettent de répondre toujours aux mêmes questions : à quelle vitesse se propage l'épidémie ? Combien de personnes seront infectées ? Comment stopper cette propagation ?

Ici on peut transposer le problème à comment éviter qu'il y a propagation des problèmes de liquidité ou des faillites etc., et quelles sont les actions gouvernementales pour éviter cela. L'idée m'est venue parce que dans les deux cas (maladie, finance), il y a bien un phénomène de "propagation".

Pour cela, nous allons d'abord voir comment une épidémie est modéliser

1 Le modèle SIR

Le modèle de base en épidémiologie est appelé SIR. Prenons une population d'individus quelconques (cela peut être des humains, des animaux ou ... des banques). Admettons que ces individus peuvent avoir trois statuts :

le statut S pour « sain »
le statut I pour « infecté »
le statut R pour « recovered » (ie : guéri)

Le parcours classique d'individu étant S->I->R (l'individu sain devenant malade puis guérissant).
Le principe du modèle consiste à dire comment un individu passe du statut S au statut I et du statut I au statut R.

Nous allons nous limiter au passage de S à I pour le moment.

Si nous modélisons la propagation d'une épidémie, il y a deux façons de modéliser ce passage :

a) le modèle déterministe

Nous allons écrire comment dI/dt varie dans le temps.
On prend simplement b * S(t)* I(t), où b représente un paramètre à déterminer.

Autrement dit, le nombre d'individus nouvellement infectés est proportionnel à S*I qui est le produit du nombre d'individus sains par le nombre d'individus infectés. Pourquoi ? C'est simple, plus il y a de contacts entre des individus sains et infectés, plus il y aura de transmissions. Et il semble raisonnable de penser que plus il y aura des individus des deux sortes, plus il y aura de contacts entre eux.

b) le modèle stochastique

Ici on considère qu'il y a un nombre i d'individus infectés. Il suffit de tirer dans une loi de probabilité le temps auquel sera infecté le i+1 ieme individu. On prendra soin que le paramètre S*I apparaitra dans cette loi, pour reprendre l'hypothèse précédente du modèle déterministe.

Il suffit ensuite de définir les conditions initiales et comme nous savons comment les catégories évoluent dans le temps, nous avons donc tous les éléments pour voir la propagation.

Comment vous pouvez le constater ces modèles sont relativement simples. Par la suite, on pourra introduire certains concepts (comme le Ro) et étudier leurs propriétés (là ce sera plus compliqué). Mais pour le moment, restons à des choses simples pour voir si on peut transposer ces modèles à la finance.


2 Adaptation à la finance

Ici il suffit de prendre les banques comme individus et de dire qu'une banque possède un statut F pour faillite et S pour sain. Il faut donc modéliser le passage d'une banque de F à S.

Comment faire ? J'avoue que je n'ai pas encore de réponse toute faite.

Il faut d'abord se poser la question : Quels sont les mécanismes de propagation ?

Il y a les modèles de bank-run (Diamond & Dybvig) qui pourront éventuellement nous servir.

Il y a 3 mécanismes de propagation référencés :

Un premier mécanisme de contagion possible est l’effet richesse : si de grands investisseurs (comme les banques) perdent beaucoup d’argent sur certains marchés financiers, ils peuvent être amenés à solder brutalement leurs positions sur d’autres marchés, soit parce que leur capacité de prise de risque diminue du fait de la réglementation ou de leur pratique de la gestion des risques, soit simplement parce qu’ils sont moins disposés à prendre des risques. Cela peut provoquer une chute des cours, une baisse de la liquidité des marchés et un accroissement de la volatilité.
Un second mécanisme est celui des effets externes informationnels : la fermeture d’une banque peut amener les gros déposants d’une autre banque à retirer leurs dépôts, parce qu’en l’absence d’information précise, ils révisent à la baisse leur estimation de la qualité des actifs de leur banque (par exemple parce que cette qualité est corrélée positivement avec celle des actifs de la banque en faillite). Une autre possibilité est que la fermeture de la première banque signale que les autorités bancaires ont décidé d’être plus strictes. Cela fournit des arguments en faveur d’une meilleure transparence du secteur bancaire : si les déposants avaient accès à une information précise sur la qualité des actifs de leurs banques, ils n’auraient plus aucune raison d’adopter un tel comportement moutonnier. Cette thèse a d’ailleurs été mise en application par le gouvernement néo-zélandais, qui a décidé de supprimer toute réglementation bancaire sous condition d’une parfaite transparence à l’égard des déposants.
Un troisième canal possible de propagation est le marché interbancaire. En autorisant les banques à se refinancer, le marché interbancaire permet à celles-ci de s’assurer contre leurs chocs de liquidité. Cependant, ces échanges interbancaires rendent le système bancaire plus fragile car les banques deviennent interdépendantes. Le développement des marchés interbancaires diminue ainsi la probabilité de faillite des banques individuelles en leur fournissant des liquidités en cas de besoin, mais augmente la fragilité du système bancaire dans son ensemble.

Il va falloir réfléchir à mettre ça en équation. A méditer ....

PS : la réponse au petit quizz du dernier billet était Cary Elwes, qui a notemment joué dans Princess Bride