Chaos en finance – Première approche de « La Bête »

J'ai décidé d'appeler « La Bête » le problème mathématique abstrait qui consiste à vouloir modéliser les variations des prix spéculatifs. Cette bête, nous allons d'abord l'étudier puis la chasser la traquer, la capturer, la disséquer et enfin l'empailler.

Tout d'abord, avant de l'attaquer il faut un peu la connaître. Donc, dans ce premier billet, nous allons voir quelques notions sur le hasard et ce que savent les mathématiciens dessus.

Déjà les mathématiciens font la distinction entre différents types de hasard.

Les trois types de hasard

Le premier est celui que l'on dénomme le hasard bénin. Prenons une expérience simple : un lancer de pièces avec la probabilité d'avoir Pile avec 0.5 et de même avec Face. Après quelques lancers, vous pourriez très biens avoir une très grande majorité de Pile par exemple; ou bien 2/3 de Pile et 1/3 de Face etc. Autrement dit, vous pourrez avoir toutes les combinaisons possibles. Mais si vous effectuez un grand nombre de lancers, on constate que l'on finira par avoir une proportion égale de Pile et de Face. Donc en quelque sorte, le hasard « disparait ».

Il y a maintenant le cas du hasard lent. Ici, par le même procédé, le hasard disparaît mais pour cela il faudrait avoir un très grand nombre de lancers. Si grand que cela ne pourrait pas se voir dans la réalité (pour reprendre l'exemple précédent, personne n'effectue un millions de lancers de pièces).

Et puis il y a le hasard sauvage, où même lorsque l'on effectue un grand nombre de lancers, on peut avoir toutes les combinaisons possibles. Le hasard ne disparaît pas.

Le paradoxe de la valeur probable

Illustrons ce paradoxe avec un exemple. Imaginons un pays avec dix milles lacs, de taille différente.
Le r-ième lac a une taille de 100/racine(r). Dans ce pays, il y a une forte brume ce qui fait que l'on y voit qu'à un kilomètre.
Des gens s'engagent sur un lac sans savoir quelle est sa taille. Ils font systématiquement une estimation de la distance qu'il leur reste à parcourir. Et surprise, plus ils parcourent de distance, plus leur estimation de la distance qu'il leur reste à parcourir augmente. Pourquoi ? C'est simple, l'estimation est en fait la somme pondérée des distances qui restent à parcourir suivant les lacs considérés. Sauf que au fur et à mesure, ils savent qu'ils ne sont pas sur les lacs les plus petits et donc ces derniers disparaissent de la somme. Ce qui fait que les lacs les plus grands prennent de plus en plus de poids.

Mathématiquement cela donne :

Soit une variable aléatoire U avec Pr(U> u) = u^(-a). Supposons que l'on sait que U est supérieur à h ( h étant la distance parcourue dans l'exemple précédent). La distance restant à parcourir devient donc U-h. On peut calculer que l'espérance de U-h est proportionnel à h. On retrouve bien le résultat précédent : quand h augmente, l'espérance de la distance à parcourir augmente.

Quel est le rapport avec la finance ? J'y arrive.

Beaucoup de variables exogènes en économie ont une distribution de la forme Pr(U> u) = u^(-a).
Admettons que l'on sait que U est supérieur à h. Donc la valeur probable de U-h sera proportionnel à h. Le prix suivra donc des changements en les amplifiant. Cependant tôt ou tard, on finit toujours par connaître U parfaitement. A ce moment le prix subit une correction brutale égale aux anticipations non réalisées.


Les distributions L-Stables

La modélisation la plus simple consiste en une marche aléatoire : la variation des prix suit une loi gaussienne. Mais on constate que les lois gaussiennes sont de piètres qualité pour modéliser la finance.

On sait très bien qu'une somme de deux distributions gaussiennes donne une distribution gaussienne . On parle de distribution L-Stable pour une distribution, qui sommé avec une distribution de la même forme reste de la même nature. Nous avons besoin de cette propriété de stabilité en finance.

Cauchy et Lévy ont travaillé sur ce problème. On sait maintenant qu'il y a des distributions qui vérifie cette propriété ayant une densité de probabilité : intégrale de 0 à x de 1/pi * exp(-u^a) cos(u*x)du.

Un autre problème est posé : Soit une suite Xn de distributions de même nature, on se demande s'il existe deux fonctions A(n) et B(n) telles que la distribution

1/A(N) * somme( Xn, n=1..N) – B(N)

soit de la même nature que les Xn.


« Effet Noé » et « Effet  Joseph »

Lorsque le hasard n'est pas bénin et que le défaut de convergence est dû à quelques valeurs, on parle d' « Effet Noé ».
Lorsqu'un hasard n'est pas bénin et que le défaut de convergence est dû à l'interdépendance statistique , on parle d' « Effet Joseph ».

Ces deux effets sont essentiels en finance. Nous le verrons lors de prochains billets.